如果存在可以在多项式时间内解决问题的非确定性图灵机，那么问题是否可以属于 NP 复杂性类别

/ / 发表于 网络安全, EITC/IS/CCTF 计算复杂性理论基础, 复杂, NP的定义和多项式可验证性

“如果存在一台非确定性图灵机，能够在多项式时间内解决某个问题，那么该问题是否可以归入 NP 复杂度类？”这个问题涉及计算复杂性理论的基本概念。要全面解决这个问题，我们必须考虑 NP 复杂度类的定义和特征以及非确定性图灵机 (NDTM) 的作用。

NP 的定义

NP 类（非确定性多项式时间）由决策问题组成，可以通过确定性图灵机 (DTM) 在多项式时间内验证给定的解决方案是否正确。形式上，如果存在多项式时间验证算法可以验证问题实例的给定证书（或见证人）的正确性，则决策问题属于 NP 问题。

非确定性图灵机

非确定性图灵机是一种扩展确定性图灵机功能的计算理论模型。与遵循由其转换函数定义的单个计算路径的 DTM 不同，NDTM 可以同时追求多个计算路径。在每一步中，NDTM 都可以从一组可能的转换中“选择”，从而有效地并行探索许多可能的计算。

NDTM 的多项式时间可解性

如果存在一种非确定性算法，可以在输入大小为多项式的多个步骤内找到问题的解决方案，则称该问题可以通过 NDTM 在多项式时间内解决。这意味着对于问题的任何实例，NDTM 都可以探索一条计算路径，从而在多项式时间内找到解决方案。

NP 和 NDTM 之间的关系

NP 类可以用 NDTM 等效地定义。具体来说，当且仅当存在可以在多项式时间内解决问题的 NDTM 时，决策问题才是 NP 问题。这种等价性源于这样一个事实：NDTM 可以非确定性地猜测证书，然后在多项式时间内确定性地验证它。

为了通过示例来说明这一点，请考虑著名的 NP 完全问题，即布尔可满足性问题 (SAT)。给定一个合取范式 (CNF) 的布尔公式，任务是确定是否存在使公式成立的变量的真值分配。 NDTM 可以通过非确定性猜测真值分配，然后确定性检查分配是否满足公式，在多项式时间内解决 SAT。验证步骤涉及在猜测的分配下评估公式，可以在多项式时间内完成。

NDTM 的多项式时间可解性的含义

考虑到上述定义以及 NDTM 的 NP 与多项式时间可解性之间的等价性，我们可以得出结论：如果存在一个在多项式时间内解决问题的 NDTM，那么该问题确实是 NP 问题。这是因为这样的 NDTM 的存在意味着该问题存在多项式时间验证算法。 NDTM的非确定性猜测阶段对应于证书的生成，确定性验证阶段对应于多项式时间验证算法。

进一步的考虑和例子

为了进一步阐明这个概念，让我们考虑 NP 中的问题及其与 NDTM 的关系的其他示例：

1. 哈密​​顿路径问题：给定一个图，哈密顿路径问题询问是否存在一条访问每个顶点一次的路径。 NDTM 可以通过非确定性猜测顶点序列，然后验证该序列是否形成有效的哈密顿路径，在多项式时间内解决此问题。验证步骤涉及检查连续顶点的邻接性并确保每个顶点恰好被访问一次，这两者都可以在多项式时间内完成。

2. 子集和问题：给定一组整数和一个目标和，子集和问题询问是否存在总和达到目标的整数子集。 NDTM 可以通过非确定性猜测整数子集，然后验证子集之和是否等于目标，在多项式时间内解决此问题。验证步骤涉及对猜测子集的元素求和，这可以在多项式时间内完成。

3. 图着色问题：给定一个图和多种颜色，图着色问题询问是否可以对图的顶点进行着色，使得没有两个相邻顶点共享相同的颜色。 NDTM 可以在多项式时间内解决这个问题，方法是非确定性地为顶点分配颜色，然后验证着色是否有效。验证步骤涉及检查相邻顶点的颜色，这可以在多项式时间内完成。

结语

根据所提供的定义和示例，很明显，如果存在可以在多项式时间内解决问题的非确定性图灵机，则问题确实可以属于 NP 复杂性类别。这种关系是计算复杂性理论的基石，强调了 NDTM 的多项式时间可解性与 NP 类成员资格之间的等价性。

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